개념완성

선호체계 (Preference Relations)

1. 선호체계란 무엇인가

소비자 이론의 출발점은 **선호(preference)**이다. 소비자는 소비 가능한 재화 묶음(bundle)들의 집합, 즉 소비 집합(consumption set) $X \subseteq \mathbb{R}^n_+$ 위에서 어떤 묶음을 더 좋아하는지에 대한 순서를 갖는다. 이러한 순서 관계를 **선호관계(preference relation)**라 하며, 기호 $\succsim$ 로 나타낸다.

$x \succsim y$ 는 "소비자가 묶음 $x$ 를 묶음 $y$ 만큼 또는 그 이상으로 선호한다"는 뜻이다. 이로부터 강선호(strict preference) $\succ$ 와 무차별(indifference) $\sim$ 를 정의할 수 있다.

정의1.1강선호와 무차별

강선호: $x \succ y \;\Leftrightarrow\; x \succsim y \text{ 이고 } y \not\succsim x$
무차별: $x \sim y \;\Leftrightarrow\; x \succsim y \text{ 이고 } y \succsim x$

2. 선호의 공리 (Axioms of Preference)

합리적 소비자의 선호는 다음 공리들을 만족한다고 가정한다.

정의1.2선호의 기본 공리

완비성 (Completeness): 임의의 $x, y \in X$ 에 대해, $x \succsim y$ 이거나 $y \succsim x$ (또는 둘 다)이다.
이행성 (Transitivity): 임의의 $x, y, z \in X$ 에 대해, $x \succsim y$ 이고 $y \succsim z$ 이면 $x \succsim z$ 이다.
반사성 (Reflexivity): 임의의 $x \in X$ 에 대해, $x \succsim x$ 이다.

완비성은 소비자가 어떤 두 묶음이든 비교할 수 있음을, 이행성은 선호의 논리적 일관성을, 반사성은 동일한 묶음에 대해 적어도 같다고 인정함을 의미한다. 이 세 가지를 만족하는 선호를 **합리적 선호(rational preference)**라 한다.

3. 추가적 성질

정의1.3단조성과 볼록성

단조성 (Monotonicity): $x \geq y$ (모든 성분에서 크거나 같음)이고 $x \neq y$ 이면 $x \succ y$ 이다. 즉, "더 많은 것이 항상 좋다."
강볼록성 (Strict Convexity): $x \sim y$ 이고 $x \neq y$ 이면, 임의의 $\lambda \in (0, 1)$ 에 대해 $\lambda x + (1-\lambda)y \succ x$ 이다.

단조성은 재화가 "좋은 것(good)"임을 전제한다. 볼록성은 소비자가 극단적인 묶음보다 적절히 섞인 묶음을 선호함을 의미하며, 이는 **다양성에 대한 선호(preference for variety)**를 반영한다.

4. 무차별곡선 (Indifference Curves)

2재화 모형에서, 소비자에게 동일한 만족을 주는 묶음의 집합을 무차별곡선이라 한다.

$I(x) = \{ y \in X \mid y \sim x \}$

합리적이고 단조적인 선호 하에서, 무차별곡선은 다음 성질을 갖는다.

무차별곡선은 우하향한다 (단조성).
서로 다른 무차별곡선은 교차하지 않는다 (이행성).
원점에서 멀수록 더 높은 만족 수준을 나타낸다 (단조성).

5. 한계대체율 (Marginal Rate of Substitution)

정의1.4한계대체율

두 재화 $x_1, x_2$ 에 대해, **한계대체율(MRS)**은 무차별곡선의 기울기의 절댓값으로 정의된다.

$MRS_{12} = -\frac{dx_2}{dx_1}\bigg|_{U = \bar{U}}$

이는 소비자가 재화 1을 한 단위 더 얻기 위해 포기할 용의가 있는 재화 2의 양을 나타낸다.

볼록한 선호 하에서 MRS는 $x_1$ 이 증가할수록 감소한다. 이를 **한계대체율 체감(diminishing MRS)**이라 하며, 무차별곡선이 원점에 대해 볼록한 형태를 갖는 이유이다.

예제완전대체재와 완전보완재

완전대체재: 무차별곡선이 직선이며, $MRS$ 가 상수이다. 예: $U(x_1, x_2) = ax_1 + bx_2$ 이면 $MRS = a/b$ .
완전보완재: 무차별곡선이 L자 형태이며, 꺾이는 점에서 $MRS$ 가 정의되지 않는다. 예: $U(x_1, x_2) = \min(ax_1, bx_2)$ .

참고선호와 효용함수의 관계

선호가 완비성, 이행성, 연속성을 만족하면, 이를 나타내는(represent) 효용함수 $u: X \to \mathbb{R}$ 가 존재한다 (Debreu, 1954). 즉, $x \succsim y \;\Leftrightarrow\; u(x) \geq u(y)$ . 이 결과는 다음 페이지의 효용함수 논의의 이론적 토대가 된다.