개념완성

효용함수 (Utility Function)

1. 효용함수의 정의

소비자의 선호를 수학적으로 다루기 위해, 선호관계를 실수 값으로 대응시키는 함수를 도입한다.

정의1.5효용함수

함수 $u: X \to \mathbb{R}$ 이 선호관계 $\succsim$ 를 **나타낸다(represent)**는 것은 다음을 뜻한다.

$x \succsim y \;\Leftrightarrow\; u(x) \geq u(y), \quad \forall\, x, y \in X$

선호가 완비성, 이행성, 연속성을 충족하면 이를 나타내는 연속 효용함수가 존재한다 (Debreu의 표현 정리).

2. 서수적 효용 vs 기수적 효용

정의1.6서수적 효용

효용함수의 값 자체가 아니라 **순서(ordering)**만이 의미를 갖는 경우, 이를 **서수적 효용(ordinal utility)**이라 한다. 현대 소비자 이론은 서수적 효용 개념에 기초한다.

서수적 효용에서는 "효용이 10이다"라는 절대적 수치가 아니라, "묶음 $A$ 의 효용이 묶음 $B$ 의 효용보다 크다"는 비교만 의미를 갖는다. 따라서 효용함수에 **단조 변환(monotonic transformation)**을 적용해도 동일한 선호를 나타낸다.

정의1.7단조 변환

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 이 강단조증가함수이면, $v(x) = f(u(x))$ 도 $u$ 와 동일한 선호를 나타낸다.

$u(x) \geq u(y) \;\Leftrightarrow\; f(u(x)) \geq f(u(y))$

예를 들어, $u(x_1, x_2) = x_1 x_2$ 와 $v(x_1, x_2) = \ln x_1 + \ln x_2$ 는 동일한 선호를 나타낸다 ( $f = \ln$ ).

3. 대표적인 효용함수의 형태

정의1.8주요 효용함수

| 이름 | 함수 형태 | 특징 | |------|-----------|------| | 콥-더글러스 (Cobb-Douglas) | $u = x_1^a x_2^b$ | 볼록 선호, 내부해 보장 | | CES | $u = (x_1^\rho + x_2^\rho)^{1/\rho}$ | 대체탄력성 $\sigma = \frac{1}{1-\rho}$ | | 준선형 (Quasilinear) | $u = v(x_1) + x_2$ | 재화 2에 대해 선형, 소득효과 없음 | | 레온티에프 (Leontief) | $u = \min(ax_1, bx_2)$ | 완전보완, L자형 무차별곡선 | | 완전대체 (Perfect Substitutes) | $u = ax_1 + bx_2$ | 직선형 무차별곡선 |

4. 한계효용 (Marginal Utility)

정의1.9한계효용

재화 $i$ 의 **한계효용(marginal utility)**은 다른 재화의 소비량을 고정한 채 재화 $i$ 의 소비를 미소하게 증가시킬 때의 효용 변화이다.

$MU_i = \frac{\partial u(x_1, x_2)}{\partial x_i}$

일반적으로 한계효용은 양수 ( $MU_i > 0$ , 단조성)이며, 소비량이 증가함에 따라 감소하는 경향이 있다 ( $\partial^2 u / \partial x_i^2 < 0$ , 한계효용 체감).

예제콥-더글러스 효용함수의 한계효용

$u(x_1, x_2) = x_1^a x_2^b$ ( $a, b > 0$ )일 때:

$MU_1 = a x_1^{a-1} x_2^b, \quad MU_2 = b x_1^a x_2^{b-1}$

한계대체율은 다음과 같다:

$MRS_{12} = \frac{MU_1}{MU_2} = \frac{a}{b} \cdot \frac{x_2}{x_1}$

$x_1$ 이 증가하면 $MRS_{12}$ 가 감소하므로, 한계대체율 체감이 성립한다.

5. 효용함수와 MRS의 관계

효용함수로부터 한계대체율을 도출하는 핵심 관계는 다음과 같다.

$MRS_{12} = \frac{MU_1}{MU_2} = \frac{\partial u / \partial x_1}{\partial u / \partial x_2}$

이 관계는 무차별곡선 위에서의 전미분 $du = 0$ 으로부터 얻어진다 (상세 유도는 한계대체율 유도 페이지 참조).

참고서수적 효용과 한계효용

서수적 효용 체계에서 한계효용의 절대값 자체는 의미가 없다. 단조 변환 $v = f(u)$ 를 적용하면 $MU$ 가 바뀌기 때문이다. 그러나 한계효용의 비율, 즉 $MRS = MU_1/MU_2$ 는 단조 변환에 불변이므로 경제학적으로 의미 있는 양이다.