예산제약 (Budget Constraint)

1. 예산집합과 예산선

소비자는 선호에 따라 가장 좋은 묶음을 선택하고 싶지만, **소득(income)**과 **가격(prices)**이라는 제약에 직면한다. 소비자가 실제로 구매 가능한 묶음의 집합을 **예산집합(budget set)**이라 한다.

예산집합의 경계, 즉 소득을 모두 지출하는 묶음의 집합을 **예산선(budget line)**이라 한다.

$p_1 x_1 + p_2 x_2 = m$

이를 $x_2$에 대해 정리하면:

$x_2 = \frac{m}{p_2} - \frac{p_1}{p_2} x_1$

2. 예산선의 기하학적 해석

예산선의 기울기 $-p_1/p_2$는 시장에서의 교환비율을 나타낸다. 재화 1을 한 단위 더 소비하려면, 재화 2를 $p_1/p_2$ 단위만큼 포기해야 한다. 이것이 시장이 소비자에게 부과하는 "가격"이다.

3. 소득 변화의 효과

소득이 $m$에서 $m'$으로 증가하면 ($m' > m$), 예산집합이 확장되어 소비자의 선택 가능 범위가 넓어진다.

4. 가격 변화의 효과

가격 $p_1$이 하락하면 예산선이 바깥쪽으로 회전하여 $x_1$ 방향으로 확장된다. 가격 $p_2$가 변하면 $x_1$ 절편을 중심으로 회전한다.

5. 일반적인 $n$재화 모형

$n$개 재화에 대한 예산제약은 다음과 같이 일반화된다.

$\sum_{i=1}^{n} p_i x_i \leq m, \quad x_i \geq 0 \;\;\forall i$

벡터 표기로는 $\mathbf{p} \cdot \mathbf{x} \leq m$이며, 여기서 $\mathbf{p} = (p_1, \ldots, p_n)$은 가격벡터, $\mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_n)$은 소비묶음이다. 예산집합은 $n$차원 공간에서의 **단체(simplex)**와 유사한 볼록 집합이 된다.

6. 비선형 예산제약

현실에서는 수량할인, 세금, 배급 등으로 예산제약이 비선형이 될 수 있다.