유도완성

한계대체율 유도 (Derivation of MRS)

1. 문제 설정

소비자의 효용함수 $u(x_1, x_2)$ 가 충분히 미분가능(differentiable)하다고 하자. **한계대체율(Marginal Rate of Substitution, MRS)**은 무차별곡선 위에서 재화 1을 한 단위 더 소비할 때, 동일한 효용 수준을 유지하기 위해 포기해야 하는 재화 2의 양이다.

이를 효용함수의 편미분으로부터 엄밀히 유도한다.

2. 전미분을 이용한 유도

유도전미분으로부터의 MRS 유도

효용함수 $u(x_1, x_2)$ 의 **전미분(total differential)**은:

$du = \frac{\partial u}{\partial x_1} dx_1 + \frac{\partial u}{\partial x_2} dx_2$

무차별곡선 위에서는 효용이 일정하므로 $du = 0$ 이다:

$\frac{\partial u}{\partial x_1} dx_1 + \frac{\partial u}{\partial x_2} dx_2 = 0$

$dx_2/dx_1$ 에 대해 정리하면:

$\frac{dx_2}{dx_1}\bigg|_{u = \bar{u}} = -\frac{\partial u / \partial x_1}{\partial u / \partial x_2} = -\frac{MU_1}{MU_2}$

한계대체율은 이 기울기의 절댓값으로 정의한다:

$\boxed{MRS_{12} = \frac{MU_1}{MU_2} = \frac{\partial u / \partial x_1}{\partial u / \partial x_2}}$

■

3. 음함수 정리를 이용한 유도

유도음함수 정리(Implicit Function Theorem)에 의한 유도

무차별곡선 $u(x_1, x_2) = \bar{u}$ 는 $x_2$ 를 $x_1$ 의 음함수(implicit function) $x_2 = g(x_1)$ 로 정의한다 (단, $\partial u / \partial x_2 \neq 0$ ).

음함수 정리에 의해:

$\frac{dg}{dx_1} = -\frac{\partial u / \partial x_1}{\partial u / \partial x_2}$

따라서:

$MRS_{12} = -\frac{dg}{dx_1} = \frac{MU_1}{MU_2}$

이 결과는 전미분 방법과 동일하다.

■

4. 단조 변환에 대한 불변성

MRS가 서수적 효용 하에서 의미 있는 양임을 확인하자.

유도MRS의 단조 변환 불변성

$v(x_1, x_2) = f(u(x_1, x_2))$ 이고, $f' > 0$ 인 단조증가함수라 하자.

$\frac{\partial v}{\partial x_1} = f'(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial x_1}, \quad \frac{\partial v}{\partial x_2} = f'(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial x_2}$

따라서:

$MRS_{12}^v = \frac{\partial v / \partial x_1}{\partial v / \partial x_2} = \frac{f'(u) \cdot MU_1}{f'(u) \cdot MU_2} = \frac{MU_1}{MU_2} = MRS_{12}^u$

$f'(u)$ 가 약분되어 MRS는 단조 변환에 불변이다.

■

5. 한계대체율 체감

정의1.18한계대체율 체감

**한계대체율 체감(diminishing MRS)**이란, $x_1$ 이 증가하고 $x_2$ 가 감소하는 방향(무차별곡선을 따라 오른쪽으로 이동)으로 갈수록 $MRS_{12}$ 가 감소하는 성질이다.

$\frac{d}{dx_1} MRS_{12}\bigg|_{u = \bar{u}} < 0$

한계대체율 체감은 선호의 **볼록성(convexity)**과 동치이다. 직관적으로, 재화 1을 이미 많이 보유할수록 재화 1의 추가 한 단위에 대해 포기할 용의가 있는 재화 2의 양이 줄어든다.

예제콥-더글러스 효용함수에서의 MRS

$u = x_1^a x_2^b$ 일 때:

$MRS_{12} = \frac{a x_1^{a-1} x_2^b}{b x_1^a x_2^{b-1}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{x_2}{x_1}$

무차별곡선 위에서 $x_1$ 이 증가하면 $x_2$ 는 감소하므로, $x_2/x_1$ 은 감소하고 따라서 $MRS_{12}$ 도 감소한다. 한계대체율 체감이 성립한다.

수치 예: $a = b = 1$ 이고 $\bar{u} = 100$ 일 때 ( $x_2 = 100/x_1$ ):

| $x_1$ | $x_2$ | $MRS_{12}$ | |--------|--------|------------| | 2 | 50 | 25.0 | | 5 | 20 | 4.0 | | 10 | 10 | 1.0 | | 20 | 5 | 0.25 |

참고MRS와 최적 선택의 연결

MRS 유도는 소비자의 최적 선택 이론의 기초이다. 최적점에서 $MRS_{12} = p_1/p_2$ 가 성립하므로, MRS를 효용함수로부터 계산할 수 있다는 것은 구체적인 수요함수를 도출하는 데 핵심적인 역할을 한다.