개념완성

수요함수 (Demand Function)

1. 개요 (Overview)

수요함수(demand function)는 소비자의 효용 극대화 문제로부터 도출되며, 가격과 소득이 주어졌을 때 소비자가 선택하는 최적 소비량을 나타낸다. 수요함수에는 크게 마셜 수요함수(Marshallian demand)와 힉스 수요함수(Hicksian demand) 두 가지가 존재한다.

2. 마셜 수요함수 (Marshallian Demand)

정의2.1마셜 수요함수 (Marshallian Demand Function)

소비자가 가격 벡터 $\mathbf{p}$ 와 소득 $m$ 하에서 효용을 극대화할 때의 최적 소비 벡터를 마셜 수요함수(비보상 수요함수)라 한다.

$x^*(\mathbf{p}, m) = \arg\max_{\mathbf{x}} \; u(\mathbf{x}) \quad \text{s.t.} \quad \mathbf{p} \cdot \mathbf{x} \leq m$

마셜 수요함수는 관측 가능한 시장 수요 곡선의 기초가 된다. 소비자가 실제로 시장에서 구매하는 양을 가격과 소득의 함수로 표현한 것이다.

3. 힉스 수요함수 (Hicksian Demand)

정의2.2힉스 수요함수 (Hicksian Demand Function)

소비자가 주어진 효용 수준 $\bar{u}$ 를 달성하면서 지출을 최소화할 때의 최적 소비 벡터를 힉스 수요함수(보상 수요함수)라 한다.

$h(\mathbf{p}, \bar{u}) = \arg\min_{\mathbf{x}} \; \mathbf{p} \cdot \mathbf{x} \quad \text{s.t.} \quad u(\mathbf{x}) \geq \bar{u}$

힉스 수요함수는 직접 관측할 수 없으나 이론적 분석, 특히 대체효과의 분리에 핵심적인 역할을 한다.

4. 주요 성질 (Properties)

4.1 영차 동차성 (Homogeneity of Degree Zero)

마셜 수요함수는 가격과 소득에 대해 0차 동차(homogeneous of degree zero)이다. 모든 가격과 소득을 동일한 비율 $t > 0$ 로 곱해도 수요량은 변하지 않는다.

$x_i(t\mathbf{p}, tm) = x_i(\mathbf{p}, m) \quad \forall\, t > 0$

이는 소비자가 명목 가격이 아닌 상대 가격(relative prices)에만 반응함을 의미한다.

4.2 왈라스 법칙 (Walras' Law)

정의2.3왈라스 법칙 (Walras' Law)

효용함수가 단조증가(locally nonsatiated)이면 소비자는 예산을 모두 소진한다.

$\mathbf{p} \cdot x^*(\mathbf{p}, m) = m$

왈라스 법칙은 예산제약이 등호로 성립함을 보장하며, 비포화 가정(nonsatiation)으로부터 직접 따라온다.

4.3 힉스 수요의 동차성

힉스 수요함수는 가격에 대해 0차 동차이다.

$h_i(t\mathbf{p}, \bar{u}) = h_i(\mathbf{p}, \bar{u}) \quad \forall\, t > 0$

5. 수요곡선의 도출 (Derivation of the Demand Curve)

수요곡선은 마셜 수요함수에서 다른 재화의 가격과 소득을 고정시킨 채, 해당 재화의 가격 $p_i$ 만을 변화시켜 얻는다.

$Q_i^d = x_i(p_i \mid \bar{p}_{-i}, \bar{m})$

예제콥-더글러스 효용함수의 수요함수

효용함수가 $u(x_1, x_2) = x_1^\alpha x_2^{1-\alpha}$ 이고 예산제약이 $p_1 x_1 + p_2 x_2 = m$ 일 때, 마셜 수요함수는 다음과 같다.

$x_1^*(p_1, p_2, m) = \frac{\alpha m}{p_1}, \qquad x_2^*(p_1, p_2, m) = \frac{(1-\alpha) m}{p_2}$

이 수요함수는 0차 동차성과 왈라스 법칙을 모두 만족한다.

6. 마셜 수요와 힉스 수요의 관계

두 수요함수는 지출함수 $e(\mathbf{p}, \bar{u})$ 와 간접효용함수 $v(\mathbf{p}, m)$ 를 통해 연결된다.

$h_i(\mathbf{p}, \bar{u}) = x_i(\mathbf{p},\, e(\mathbf{p}, \bar{u}))$

$x_i(\mathbf{p}, m) = h_i(\mathbf{p},\, v(\mathbf{p}, m))$

참고셰퍼드 보조정리 (Shephard's Lemma)

지출함수를 가격으로 편미분하면 힉스 수요함수를 얻는다.

$h_i(\mathbf{p}, \bar{u}) = \frac{\partial e(\mathbf{p}, \bar{u})}{\partial p_i}$

이 결과는 슬러츠키 방정식 유도의 출발점이 된다.