개념완성

수요의 탄력성 (Price Elasticity of Demand)

1. 개요 (Overview)

탄력성(elasticity)은 한 변수의 변화율에 대한 다른 변수의 변화율의 비율로, 수요 분석에서 가격, 소득, 교차가격에 대한 수요의 반응도를 측정하는 핵심 도구이다. 탄력성은 단위에 의존하지 않는(dimensionless) 척도이므로 서로 다른 재화 간 비교가 가능하다.

2. 가격탄력성 (Price Elasticity of Demand)

정의2.1수요의 가격탄력성 (Price Elasticity of Demand)

재화 $i$ 의 가격이 1% 변할 때 수요량이 몇 % 변하는지를 나타낸다.

$\varepsilon_{ii} = \frac{\partial x_i}{\partial p_i} \cdot \frac{p_i}{x_i} = \frac{\partial \ln x_i}{\partial \ln p_i}$

수요의 법칙에 의해 일반적으로 $\varepsilon_{ii} < 0$ 이다.

2.1 탄력성의 분류

| 구분 | 조건 | 특성 | |------|------|------| | 탄력적 (elastic) | $|\varepsilon| > 1$ | 가격 변화보다 수요량 변화가 더 큼 | | 비탄력적 (inelastic) | $|\varepsilon| < 1$ | 가격 변화보다 수요량 변화가 더 작음 | | 단위탄력적 (unit elastic) | $|\varepsilon| = 1$ | 가격과 수요량이 같은 비율로 변함 | | 완전탄력적 (perfectly elastic) | $|\varepsilon| = \infty$ | 수평 수요곡선 | | 완전비탄력적 (perfectly inelastic) | $|\varepsilon| = 0$ | 수직 수요곡선 |

3. 소득탄력성 (Income Elasticity of Demand)

정의2.2수요의 소득탄력성 (Income Elasticity)

소득이 1% 변할 때 수요량이 몇 % 변하는지를 나타낸다.

$\varepsilon_m = \frac{\partial x_i}{\partial m} \cdot \frac{m}{x_i}$

소득탄력성의 부호에 따라 재화를 분류할 수 있다.

정상재 (normal good): $\varepsilon_m > 0$ $ε_{m} > 0$ --- 소득 증가 시 수요 증가
- 필수재 (necessity): $0 < \varepsilon_m < 1$
- 사치재 (luxury good): $\varepsilon_m > 1$
열등재 (inferior good): $\varepsilon_m < 0$ --- 소득 증가 시 수요 감소

4. 교차가격탄력성 (Cross-Price Elasticity)

정의2.3교차가격탄력성 (Cross-Price Elasticity)

재화 $j$ 의 가격이 1% 변할 때 재화 $i$ 의 수요량이 몇 % 변하는지를 나타낸다.

$\varepsilon_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial p_j} \cdot \frac{p_j}{x_i}$

대체재 (substitutes): $\varepsilon_{ij} > 0$
보완재 (complements): $\varepsilon_{ij} < 0$
독립재 (independent goods): $\varepsilon_{ij} = 0$

5. 탄력성과 총수입의 관계 (Elasticity and Total Revenue)

총수입(total revenue)은 $TR = p \cdot x(p)$ 이다. 가격 변화에 따른 총수입의 변화는 탄력성에 의해 결정된다.

$\frac{dTR}{dp} = x(p)\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) = x(p)\left(1 - \frac{1}{|\varepsilon|}\right)$

법칙2.1탄력성-총수입 관계 (Elasticity-Revenue Relationship)

$|\varepsilon| > 1$ (탄력적): 가격 인하 시 총수입 증가
$|\varepsilon| < 1$ (비탄력적): 가격 인하 시 총수입 감소
$|\varepsilon| = 1$ (단위탄력적): 총수입이 극대

예제선형 수요의 탄력성

수요함수가 $x = a - bp$ ( $a, b > 0$ )일 때, 가격탄력성은 다음과 같다.

$\varepsilon = -b \cdot \frac{p}{a - bp}$

이 경우 수요곡선의 상단( $p$ 가 높은 쪽)은 탄력적이고, 하단( $p$ 가 낮은 쪽)은 비탄력적이며, 중점에서 단위탄력적이다. 총수입은 $p = a/(2b)$ 에서 극대가 된다.

6. 탄력성 간의 관계

참고엥겔 집계 (Engel Aggregation)

소비자의 전체 지출에서 각 재화의 지출 비중을 $s_i = p_i x_i / m$ 이라 하면, 소득탄력성의 가중평균은 반드시 1이 된다.

$\sum_i s_i \, \varepsilon_{m,i} = 1$

이는 왈라스 법칙으로부터 직접 도출되며, 모든 재화가 열등재일 수는 없음을 의미한다.