유도완성

슬러츠키 방정식 유도 (Slutsky Equation Derivation)

1. 개요 (Overview)

슬러츠키 방정식(Slutsky equation)은 마셜 수요함수의 가격 반응을 대체효과와 소득효과로 분해하는 핵심 등식이다. 이 유도는 지출함수(expenditure function)와 셰퍼드 보조정리(Shephard's lemma)를 출발점으로 한다.

2. 사전 준비 (Preliminaries)

유도에 필요한 핵심 개념을 정리한다.

정의2.1지출함수 (Expenditure Function)

소비자가 효용 수준 $\bar{u}$ 를 달성하기 위해 필요한 최소 지출이다.

$e(\mathbf{p}, \bar{u}) = \min_{\mathbf{x}} \; \mathbf{p} \cdot \mathbf{x} \quad \text{s.t.} \quad u(\mathbf{x}) \geq \bar{u}$

정의2.2셰퍼드 보조정리 (Shephard's Lemma)

지출함수를 가격 $p_i$ 로 편미분하면 힉스 수요함수를 얻는다.

$\frac{\partial e(\mathbf{p}, \bar{u})}{\partial p_i} = h_i(\mathbf{p}, \bar{u})$

또한, 마셜 수요와 힉스 수요 사이의 항등 관계를 활용한다.

$h_i(\mathbf{p}, \bar{u}) = x_i(\mathbf{p},\, e(\mathbf{p}, \bar{u}))$

3. 슬러츠키 방정식 유도 (Derivation)

유도슬러츠키 방정식

출발점: 힉스 수요와 마셜 수요의 항등식

$h_i(\mathbf{p}, \bar{u}) \equiv x_i(\mathbf{p},\, e(\mathbf{p}, \bar{u})) \tag{1}$

이 항등식은 임의의 $(\mathbf{p}, \bar{u})$ 에 대해 성립한다.

1단계: 식 (1)의 양변을 $p_j$ 로 편미분한다. 우변에서 $e$ 도 $p_j$ 의 함수이므로 연쇄법칙(chain rule)을 적용한다.

$\frac{\partial h_i}{\partial p_j} = \frac{\partial x_i}{\partial p_j} + \frac{\partial x_i}{\partial m} \cdot \frac{\partial e}{\partial p_j} \tag{2}$

여기서 $m = e(\mathbf{p}, \bar{u})$ 로, 소득 변수에 해당한다.

2단계: 셰퍼드 보조정리에 의해

$\frac{\partial e(\mathbf{p}, \bar{u})}{\partial p_j} = h_j(\mathbf{p}, \bar{u}) = x_j(\mathbf{p}, m) \tag{3}$

마지막 등호는 최적에서 힉스 수요와 마셜 수요가 일치하기 때문이다 ( $m = e(\mathbf{p}, \bar{u})$ 에서 평가).

3단계: 식 (3)을 식 (2)에 대입한다.

$\frac{\partial h_i}{\partial p_j} = \frac{\partial x_i}{\partial p_j} + \frac{\partial x_i}{\partial m} \cdot x_j \tag{4}$

4단계: 식 (4)를 $\partial x_i / \partial p_j$ 에 대해 정리하면 슬러츠키 방정식을 얻는다.

$\boxed{\frac{\partial x_i}{\partial p_j} = \frac{\partial h_i}{\partial p_j} - x_j \frac{\partial x_i}{\partial m}} \tag{5}$

좌변의 총효과는 대체효과( $\partial h_i / \partial p_j$ )에서 소득효과( $x_j \cdot \partial x_i / \partial m$ )를 뺀 것과 같다.

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4. 행렬 형태 (Matrix Form)

$n$ 개 재화에 대한 슬러츠키 방정식을 행렬로 표현하면 다음과 같다.

$\mathbf{S} = \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{p}^{\top}} + \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial m} \, \mathbf{x}^{\top}$

여기서 슬러츠키 행렬(Slutsky matrix) $\mathbf{S}$ 의 $(i,j)$ 원소는

$s_{ij} = \frac{\partial h_i}{\partial p_j} = \frac{\partial x_i}{\partial p_j} + x_j \frac{\partial x_i}{\partial m}$

이다.

5. 슬러츠키 행렬의 성질 (Properties of the Slutsky Matrix)

법칙2.1슬러츠키 행렬의 성질

효용 극대화를 하는 소비자의 슬러츠키 행렬 $\mathbf{S}$ 는 다음 세 가지 성질을 만족한다.

대칭성 (Symmetry): $s_{ij} = s_{ji}$ --- 교차 대체효과는 대칭적이다
음의 준정부호 (Negative semidefiniteness): $\mathbf{z}^{\top}\mathbf{S}\mathbf{z} \leq 0$ for all $\mathbf{z}$
$\mathbf{S}\mathbf{p} = \mathbf{0}$ : 슬러츠키 행렬과 가격 벡터의 곱은 영벡터이다

5.1 대칭성의 의미

$s_{ij} = s_{ji}$ 는 재화 $j$ 의 가격 변화가 재화 $i$ 의 보상 수요에 미치는 영향이, 재화 $i$ 의 가격 변화가 재화 $j$ 의 보상 수요에 미치는 영향과 같다는 것을 의미한다. 이는 Young 정리( $\partial^2 e / \partial p_i \partial p_j = \partial^2 e / \partial p_j \partial p_i$ )로부터 따라온다.

5.2 음의 준정부호의 의미

특히 대각원소에 대해 $s_{ii} \leq 0$ 이 성립하므로, 자기 대체효과는 반드시 음(-)이거나 0이다. 이것이 보상 수요의 법칙의 수학적 근거이다.

예제2재화 슬러츠키 행렬

2재화 경우 슬러츠키 행렬은 다음과 같다.

$\mathbf{S} = \begin{pmatrix} s_{11} & s_{12} \\ s_{21} & s_{22} \end{pmatrix}$

대칭성에 의해 $s_{12} = s_{21}$ 이고, 음의 준정부호 조건은 $s_{11} \leq 0$ , $s_{22} \leq 0$ , 그리고 $s_{11}s_{22} - s_{12}^2 \geq 0$ 을 요구한다.

참고검증 가능성 (Testable Implications)

슬러츠키 행렬의 대칭성과 음의 준정부호 성질은 소비자 이론의 핵심적인 검증 가능한 함의(testable implications)이다. 관측된 수요 데이터로부터 이 성질이 성립하는지 통계적으로 검정할 수 있으며, 이는 합리적 소비자 가설을 실증적으로 평가하는 기준이 된다.