유도완성

기술적 한계대체율 유도 (Derivation of MRTS)

개요 (Overview)

기술적 한계대체율(Marginal Rate of Technical Substitution, MRTS)은 산출량을 일정하게 유지하면서 한 투입요소를 다른 투입요소로 대체할 수 있는 비율이다. 이는 등량곡선의 기울기의 절댓값으로, 소비자 이론의 한계대체율(MRS)에 대응하는 생산자 이론의 핵심 개념이다.

전미분으로부터의 유도 (From Total Differential)

유도MRTS의 유도

생산함수 $Q = f(K, L)$ 의 전미분(total differential)을 취하면:

dQ = \frac{\partial f}{\partial K} dK + \frac{\partial f}{\partial L} dL = MP_K \, dK + MP_L \, dL

등량곡선 위에서 산출량이 일정하므로 $dQ = 0$ 이다. 따라서:

MP_K \, dK + MP_L \, dL = 0

이를 정리하면:

\frac{dK}{dL}\bigg|_{Q=\bar{Q}} = -\frac{MP_L}{MP_K}

MRTS는 이 기울기의 절댓값으로 정의된다:

MRTS_{LK} = -\frac{dK}{dL}\bigg|_{Q=\bar{Q}} = \frac{MP_L}{MP_K}

즉, 기술적 한계대체율은 두 투입요소의 한계생산물의 비율과 같다.

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한계생산물과의 관계 (Relationship to Marginal Products)

MRTS의 경제적 해석은 다음과 같다. 노동을 한 단위 추가 투입하면 산출량이 $MP_L$ 만큼 증가한다. 산출량을 원래 수준으로 유지하려면 자본을 $MP_L / MP_K$ 단위만큼 감소시켜야 한다. 이 대체 비율이 바로 MRTS이다.

정의3.8MRTS의 정의

노동과 자본 사이의 기술적 한계대체율은:

MRTS_{LK} = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{\partial f / \partial L}{\partial f / \partial K}

이는 등량곡선의 임의의 점에서의 접선의 기울기(절댓값)이다.

한계대체율 체감 (Diminishing MRTS)

유도MRTS 체감의 조건

등량곡선을 따라 $L$ 이 증가하고 $K$ 가 감소할 때, MRTS가 체감하는 것은 생산함수의 준오목성(strict quasi-concavity)으로부터 보장된다.

직관적으로, $L$ 이 증가하면:

$MP_L$ 은 수확체감에 의해 감소하는 경향
$MP_K$ 는 자본이 희소해지므로 증가하는 경향

따라서 $MRTS_{LK} = MP_L / MP_K$ 의 분자는 감소하고 분모는 증가하여, MRTS는 체감한다.

수학적으로, 등량곡선의 볼록성 조건은 다음과 동치이다:

\frac{d(MRTS_{LK})}{dL}\bigg|_{Q=\bar{Q}} < 0

이를 전개하면, bordered Hessian 조건에 의해 생산함수의 준오목성이 요구된다.

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대체탄력성 (Elasticity of Substitution)

MRTS의 변화 민감도를 측정하는 지표로 대체탄력성(elasticity of substitution)이 있다.

정의3.9대체탄력성

대체탄력성 $\sigma$ 는 투입요소 비율의 변화율과 MRTS의 변화율의 비로 정의된다.

\sigma = \frac{d\ln(K/L)}{d\ln(MRTS_{LK})} = \frac{\frac{d(K/L)}{K/L}}{\frac{d(MRTS_{LK})}{MRTS_{LK}}}

$\sigma$ 가 클수록 투입요소 간 대체가 용이하며, 등량곡선이 더 완만한 곡선을 이룬다.

예제주요 생산함수의 대체탄력성

| 생산함수 | 대체탄력성 $\sigma$ | 등량곡선 형태 | |---------|-------------------|-------------| | 선형 ( $Q = aK + bL$ ) | $\sigma = \infty$ | 직선 | | 콥-더글러스 ( $Q = AK^\alpha L^\beta$ ) | $\sigma = 1$ | 매끄러운 볼록 곡선 | | CES ( $Q = A[\delta K^\rho + (1-\delta)L^\rho]^{1/\rho}$ ) | $\sigma = \frac{1}{1-\rho}$ | $\rho$ 에 따라 변화 | | 레온티에프 ( $Q = \min(K/a, L/b)$ ) | $\sigma = 0$ | L자 형태 |

대체탄력성은 등량곡선의 곡률(curvature)을 정량적으로 측정하는 도구로, 요소 가격 변화에 대한 기업의 투입 조합 조정 정도를 예측하는 데 핵심적이다.

참고MRS와 MRTS의 대응관계

소비자 이론의 한계대체율(MRS)과 생산자 이론의 MRTS는 구조적으로 동일한 개념이다.

MRS = $MU_x / MU_y$ (무차별곡선의 기울기)
MRTS = $MP_L / MP_K$ (등량곡선의 기울기)

소비자는 MRS = 가격비에서 최적 소비를 선택하고, 기업은 MRTS = 요소가격비에서 비용을 최소화한다. 이 대응관계를 통해 소비자 이론에서 개발된 수학적 도구를 생산자 이론에 그대로 적용할 수 있다.