개념완성

단기비용과 장기비용 (Short-Run vs Long-Run Costs)

단기와 장기의 구분 (Short-Run vs Long-Run)

정의4.4단기와 장기

단기 (Short-Run): 하나 이상의 투입요소가 고정되어 있는 기간. 일반적으로 자본( $K$ )이 고정되고 노동( $L$ )만 가변적이다.
장기 (Long-Run): 모든 투입요소를 자유롭게 조정할 수 있는 기간. 고정비용이 존재하지 않는다.

단기와 장기의 구분은 물리적 시간이 아니라 기업이 투입요소를 조정할 수 있는 유연성의 정도에 의해 결정된다.

단기비용 함수 (Short-Run Cost Function)

자본이 $\bar{K}$ 로 고정된 단기에서, 생산함수가 $q = f(L, \bar{K})$ 일 때 기업은 노동만 조절할 수 있다.

정의4.5단기 총비용

$STC(q; \bar{K}) = wL^*(q; \bar{K}) + r\bar{K}$

여기서 $L^*(q; \bar{K})$ 는 $\bar{K}$ 하에서 $q$ 를 생산하기 위해 필요한 최소 노동 투입량, $w$ 는 임금, $r$ 은 자본 임대료이다.

고정비용: $FC = r\bar{K}$
가변비용: $VC(q) = wL^*(q; \bar{K})$

단기 한계비용은 노동의 한계생산물과 역의 관계를 갖는다:

$SMC(q) = \frac{w}{MP_L}$

한계생산물 체감의 법칙에 의해, 일정 수준 이후 $MP_L$ 이 감소하므로 $SMC$ 는 증가한다.

장기비용 함수 (Long-Run Cost Function)

정의4.6장기 총비용

장기에서는 모든 요소를 최적으로 조정하므로, 장기 총비용은 다음과 같이 정의된다:

$LTC(q) = \min_{K} \, STC(q; K) = \min_{L, K} \left[ wL + rK \right] \quad \text{s.t. } f(L, K) \geq q$

장기에서는 고정비용이 존재하지 않으므로 $LTC(0) = 0$ 이다.

포락선 정리와 LAC 곡선 (Envelope Theorem and LAC Curve)

장기평균비용(LAC) 곡선은 모든 가능한 단기평균비용(SAC) 곡선의 **포락선(envelope)**이다.

유도포락선 관계

각 자본 수준 $\bar{K}$ 에 대해 하나의 SAC 곡선이 존재한다. 장기에서 기업은 각 산출량 수준에서 가장 낮은 비용을 주는 $K$ 를 선택한다:

$LAC(q) = \min_{K} \, SAC(q; K)$

최적 자본 $K^*(q)$ 에서 다음이 성립한다:

$LAC(q) = SAC(q; K^*(q))$ $\frac{\partial SAC(q; K)}{\partial K}\bigg|_{K = K^*(q)} = 0$

따라서 LAC 곡선은 각 SAC 곡선에 접하되(tangent), 결코 교차하지 않는다.

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참고포락선의 기하학적 의미

LAC 곡선 위의 각 점에서 해당 산출량에 최적인 SAC 곡선이 접한다. LAC의 최저점에서만 SAC의 최저점과 일치하며, 그 이외의 산출량에서는 SAC의 최저점이 아닌 지점에서 접한다. LAC가 하락하는 구간에서는 SAC 최저점의 왼쪽에서, 상승하는 구간에서는 오른쪽에서 접하게 된다.

장기평균비용 곡선의 형태 (Shape of LAC Curve)

LAC 곡선도 일반적으로 U자형을 따르지만, 그 이유는 단기와 다르다.

하락 구간: 규모의 경제(economies of scale) -- 규모 확대에 따른 전문화, 고정비용 분산 등의 이점
최저점: 최소효율규모(minimum efficient scale, MES) -- 장기 평균비용이 최소가 되는 산출량
상승 구간: 규모의 비경제(diseconomies of scale) -- 관리의 복잡성, 조정 비용 증가

단기비용과 장기비용의 관계 (Relationship)

정의4.7단기-장기 비용 관계

임의의 산출량 $q$ 에 대해:

$LTC(q) \leq STC(q; \bar{K}) \quad \text{모든 } \bar{K} \text{에 대해}$

등호는 $\bar{K} = K^*(q)$ , 즉 자본이 장기 최적 수준일 때 성립한다. 같은 논리로:

$LAC(q) \leq SAC(q; \bar{K}), \quad LMC(q) \text{는 } SMC(q; K^*(q)) \text{와 일치}$

예제이차 단기비용 예시

$STC(q; K) = \dfrac{q^2}{K} + K$ 로 주어진 경우 ( $w=1, r=1$ 로 정규화).

$SAC(q; K) = \dfrac{q}{K} + \dfrac{K}{q}$
장기 최적: $\dfrac{\partial STC}{\partial K} = -\dfrac{q^2}{K^2} + 1 = 0 \implies K^*(q) = q$
$LTC(q) = STC(q; q) = q + q = 2q$
$LAC(q) = 2$ , $LMC(q) = 2$ (불변의 장기 평균비용 -- 규모에 대한 수익 불변)

요약 (Summary)

| 구분 | 단기 | 장기 | |---|---|---| | 고정요소 | 있음 ( $\bar{K}$ ) | 없음 | | 고정비용 | $FC = r\bar{K} > 0$ | $FC = 0$ | | 비용 수준 | $STC \geq LTC$ | 최소 비용 | | AC 곡선 | 개별 SAC | SAC의 포락선 (LAC) |