유도완성

비용 최소화 조건 유도 (Cost Minimization Derivation)

문제 설정 (Problem Setup)

기업의 비용 최소화 문제는 일정한 산출량 $q$ 를 달성하면서 총비용을 최소화하는 투입요소 조합 $(L, K)$ 를 찾는 것이다.

정의4.11비용 최소화 문제

$\min_{L, K} \quad wL + rK$ $\text{s.t.} \quad f(L, K) = q$

여기서 $w$ 는 임금률, $r$ 은 자본의 임대가격, $f(L, K)$ 는 생산함수이다.

이 문제의 해를 통해 **조건부 요소수요함수(conditional factor demand functions)**와 비용함수가 도출된다.

라그랑주 방법 (Lagrangian Method)

유도라그랑주 승수법을 이용한 비용 최소화

라그랑주 함수를 구성한다:

$\mathcal{L} = wL + rK + \lambda [q - f(L, K)]$

1차 조건(first-order conditions):

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L} = w - \lambda \frac{\partial f}{\partial L} = 0 \quad \Rightarrow \quad w = \lambda \cdot MP_L$

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial K} = r - \lambda \frac{\partial f}{\partial K} = 0 \quad \Rightarrow \quad r = \lambda \cdot MP_K$

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = q - f(L, K) = 0$

처음 두 조건에서 $\lambda$ 를 소거하면:

$\frac{w}{r} = \frac{MP_L}{MP_K} = MRTS_{LK}$

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접선 조건의 경제적 의미 (Economic Interpretation)

정의4.12비용 최소화의 접선 조건

비용 최소화의 필요 조건은 **기술적 한계대체율(MRTS)**이 요소가격비와 같아지는 것이다:

$MRTS_{LK} = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{w}{r}$

이는 등량곡선(isoquant)과 등비용선(isocost line)이 접하는 점에서 비용이 최소화됨을 의미한다.

기하학적으로, 등비용선 $wL + rK = C$ 의 기울기는 $-w/r$ 이고, 등량곡선의 기울기는 $-MRTS_{LK}$ 이다. 두 기울기가 일치하는 접점에서, 주어진 산출량을 최소 비용으로 달성할 수 있다.

조건부 요소수요와 비용함수 (Conditional Factor Demands and Cost Function)

정의4.13조건부 요소수요함수

접선 조건과 생산 제약을 연립하면, 최적 요소 투입량이 요소가격과 산출량의 함수로 표현된다:

$L^* = L^*(w, r, q), \quad K^* = K^*(w, r, q)$

이를 **조건부 요소수요함수(conditional factor demand functions)**라 한다. 비용함수는 이를 대입하여 얻는다:

$C(w, r, q) = wL^*(w, r, q) + rK^*(w, r, q)$

셰퍼드의 보조정리 (Shephard's Lemma)

유도셰퍼드의 보조정리

비용함수 $C(w, r, q)$ 를 요소가격으로 편미분하면 조건부 요소수요를 직접 얻을 수 있다:

$\frac{\partial C(w, r, q)}{\partial w} = L^*(w, r, q), \quad \frac{\partial C(w, r, q)}{\partial r} = K^*(w, r, q)$

증명: 포락선 정리에 의해, $C = wL^* + rK^*$ 를 $w$ 로 미분하면:

$\frac{\partial C}{\partial w} = L^* + w\frac{\partial L^*}{\partial w} + r\frac{\partial K^*}{\partial w}$

그런데 최적 조건에서 $w = \lambda MP_L$ , $r = \lambda MP_K$ 이므로:

$w\frac{\partial L^*}{\partial w} + r\frac{\partial K^*}{\partial w} = \lambda \left( MP_L \frac{\partial L^*}{\partial w} + MP_K \frac{\partial K^*}{\partial w} \right) = \lambda \frac{\partial f}{\partial w} = 0$

마지막 등호는 산출량 제약 $f(L^*, K^*) = q$ 가 $w$ 에 의존하지 않기 때문이다. 따라서 $\dfrac{\partial C}{\partial w} = L^*$ 이다.

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참고셰퍼드 보조정리의 유용성

셰퍼드의 보조정리는 비용함수만 알면 조건부 요소수요를 구할 수 있음을 말해준다. 실증 연구에서 비용함수를 추정한 후, 미분을 통해 요소수요를 도출하는 데 널리 활용된다.

Cobb-Douglas 예제 (Cobb-Douglas Example)

예제Cobb-Douglas 비용 최소화

생산함수 $f(L, K) = L^{1/2}K^{1/2}$ 에서 비용 최소화 문제를 풀어보자.

1단계: 접선 조건

$MRTS_{LK} = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{\frac{1}{2}L^{-1/2}K^{1/2}}{\frac{1}{2}L^{1/2}K^{-1/2}} = \frac{K}{L} = \frac{w}{r}$

따라서 $K = \dfrac{w}{r}L$

2단계: 생산 제약 대입

$L^{1/2}\left(\frac{w}{r}L\right)^{1/2} = q \implies L\sqrt{\frac{w}{r}} = q$

$L^* = q\sqrt{\frac{r}{w}}, \quad K^* = q\sqrt{\frac{w}{r}}$

3단계: 비용함수

$C(w, r, q) = wq\sqrt{\frac{r}{w}} + rq\sqrt{\frac{w}{r}} = 2q\sqrt{wr}$

검증 (셰퍼드의 보조정리):

$\frac{\partial C}{\partial w} = 2q \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{r}{w}} = q\sqrt{\frac{r}{w}} = L^* \quad \checkmark$

라그랑주 승수의 해석 (Interpretation of $\lambda$ )

참고라그랑주 승수와 한계비용

비용 최소화 문제의 라그랑주 승수 $\lambda$ 는 산출량을 한 단위 증가시킬 때의 최소 비용 증가분, 즉 **한계비용(MC)**과 같다:

$\lambda = \frac{\partial C}{\partial q} = MC(q)$

위의 Cobb-Douglas 예에서: $\lambda = MC = \dfrac{\partial}{\partial q}(2q\sqrt{wr}) = 2\sqrt{wr}$ 이다.

요약 (Summary)

| 결과 | 수식 | |---|---| | 접선 조건 | $MRTS_{LK} = w/r$ | | 조건부 요소수요 | $L^*(w, r, q)$ , $K^*(w, r, q)$ | | 비용함수 | $C = wL^* + rK^*$ | | 셰퍼드의 보조정리 | $\partial C / \partial w_i = x_i^*$ | | 라그랑주 승수 | $\lambda = MC$ |