유도완성

이윤 극대화 조건 유도 (Profit Maximization Derivation)

문제 설정 (Setup)

완전경쟁기업은 시장가격 $P$ 를 주어진 것으로 받아들이고, 이윤을 극대화하는 산출량 $q$ 를 선택한다. 이윤함수는 다음과 같다.

\pi(q) = TR(q) - TC(q) = P \cdot q - C(q)

여기서 $TR(q) = P \cdot q$ 는 총수입, $C(q)$ 는 총비용함수이다. $C(q)$ 는 두 번 미분 가능하고 $C(0) \geq 0$ 이라 가정한다.

유도P = MC 조건

이윤극대화 문제:

\max_{q \geq 0} \; \pi(q) = Pq - C(q)

내점해(interior solution, $q > 0$ )에서 1계 필요조건(FOC)은:

\frac{d\pi}{dq} = P - \frac{dC}{dq} = 0

따라서

P = MC(q)

이는 가격이 한계비용과 같아지는 수량에서 이윤이 극대화된다는 것을 의미한다. 완전경쟁기업에서 $MR = P$ 이므로, 이 조건은 일반적인 이윤극대화 조건 $MR = MC$ 의 특수한 경우이다.

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1계 조건 $P = MC(q)$ 를 만족하는 점이 극대인지 확인하기 위해 2계 조건을 검토한다.

유도2계 충분조건

\frac{d^2\pi}{dq^2} = -\frac{dMC}{dq} = -MC'(q) < 0

따라서 $MC'(q) > 0$ , 즉 한계비용이 체증하는 영역에서만 이윤 극대가 성립한다.

한계비용이 체감하는 구간( $MC'(q) < 0$ )에서 $P = MC$ 를 만족하더라도, 그 점은 이윤 극소(혹은 변곡점)에 해당한다.

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참고다수의 해

U자형 $MC$ 곡선의 경우, $P = MC$ 를 만족하는 점이 둘 이상 존재할 수 있다. 하나는 $MC$ 의 체감 구간(극소), 다른 하나는 체증 구간(극대)에 위치한다. 2계 조건은 체증 구간의 해를 선택하게 한다.

이윤극대화 조건으로부터 개별 기업의 공급함수를 유도한다.

유도개별 기업 공급함수

$P = MC(q)$ 조건에서, $MC$ 가 순증가하는 영역의 역함수가 존재하면:

q^S(P) = MC^{-1}(P) \quad \text{단, } P \geq \min AVC

$P < \min AVC$ 이면 $q^S(P) = 0$ (조업중단)이다. 따라서 공급함수는:

q^S(P) = \begin{cases} MC^{-1}(P) & \text{if } P \geq P_{\text{shutdown}} = \min AVC \\ 0 & \text{if } P < P_{\text{shutdown}} \end{cases}

이는 개별 기업의 공급곡선이 AVC 최솟값 이상의 MC 곡선과 일치함을 보여준다.

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정의5.10산업 공급곡선

$n$ 개의 기업이 존재하는 산업의 단기 공급곡선은 개별 공급의 수평합산(horizontal summation)이다.

Q^S(P) = \sum_{i=1}^{n} q_i^S(P)

동일한 기업(identical firms)으로 구성된 산업에서는 $Q^S(P) = n \cdot q^S(P)$ 이다.

예제이차 비용함수에서의 산업 공급

$n = 50$ 개의 동일 기업이 있고, 각 기업의 비용함수가 $C(q) = 50 + 2q + 0.5q^2$ 이라 하자.

$MC(q) = 2 + q$ 이므로, $P = MC$ 에서 $q^S(P) = P - 2$ (단, $P \geq 2$ ).

산업 공급:

Q^S(P) = 50(P - 2) = 50P - 100 \quad (P \geq 2)

수요가 $Q^D = 400 - 10P$ 이면, 균형: $50P - 100 = 400 - 10P$ 에서 $P^* = \frac{500}{60} \approx 8.33$ , $Q^* \approx 317$ 이다.

유도장기 균형의 유도

장기에 기업 수 $n$ 이 내생적으로 결정된다. 자유로운 진입·퇴출 조건은:

\pi = P \cdot q - C(q) = 0 \quad \Longrightarrow \quad P = \frac{C(q)}{q} = AC(q)

이를 $P = MC(q)$ 와 결합하면:

MC(q) = AC(q)

이는 평균비용의 최솟값에서 달성된다. 즉 장기 균형에서 $P = MC = \min AC$ 이며, 각 기업은 효율적 규모(efficient scale) $q^*_e$ 에서 생산한다. 산업 내 기업 수는 $n^* = Q^D(P^*) / q^*_e$ 로 결정된다.

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참고장기 공급의 탄력성

비용불변산업에서 장기 공급곡선은 $P = \min LAC$ 인 수평선으로, 공급의 가격탄력성이 무한대이다. 이는 수요 변화가 장기 가격에 전혀 영향을 미치지 않음을 의미한다. 비용체증산업에서는 기업 진입이 요소가격을 상승시켜 장기 공급곡선이 우상향한다.