유도완성

독점 산출량 유도 (Monopoly Output Derivation)

1. 한계수입의 유도 (Derivation of Marginal Revenue)

유도한계수입 공식 유도

역수요함수 $P = P(Q)$ 하에서 총수입은 $TR(Q) = P(Q) \cdot Q$ 이다. 이를 $Q$ 에 대해 미분하면 한계수입을 얻는다.

$MR = \frac{d(TR)}{dQ} = \frac{d[P(Q) \cdot Q]}{dQ} = P(Q) + Q \cdot \frac{dP}{dQ}$

이를 탄력성으로 표현하기 위해 $\frac{dP}{dQ} = -\frac{P}{Q} \cdot \frac{1}{\varepsilon_d}$ 를 대입하면 다음을 얻는다.

$MR = P\left(1 - \frac{1}{\varepsilon_d}\right)$

여기서 $\varepsilon_d = -\frac{dQ}{dP}\cdot\frac{P}{Q} > 0$ 은 수요의 가격탄력성이다.

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이 결과에서 중요한 함의를 도출할 수 있다. $MR > 0$ 이 되려면 $\varepsilon_d > 1$ , 즉 수요가 탄력적이어야 한다. 따라서 이윤 극대화 독점기업은 항상 수요곡선의 탄력적인 구간에서 생산한다.

2. 이윤 극대화 조건 유도 (MR = MC Condition)

유도이윤 극대화의 1계 및 2계 조건

이윤함수 $\pi(Q) = TR(Q) - TC(Q) = P(Q) \cdot Q - C(Q)$ 에서 1계 필요조건은 다음과 같다.

$\frac{d\pi}{dQ} = MR(Q) - MC(Q) = 0 \implies MR(Q^*) = MC(Q^*)$

2계 충분조건은 다음이 성립해야 한다.

$\frac{d^2\pi}{dQ^2} = \frac{dMR}{dQ} - \frac{dMC}{dQ} < 0$

즉, 최적 산출량에서 $MR$ 곡선의 기울기가 $MC$ 곡선의 기울기보다 작아야 한다. 이는 $MR$ 곡선이 $MC$ 곡선을 위에서 아래로 교차하는 점에서 충족된다.

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3. 선형 수요 모형의 풀이 (Linear Demand Example)

예제선형 수요 모형의 독점 균형

역수요함수가 $P = a - bQ$ 이고 비용함수가 $C(Q) = cQ + F$ (일정한 한계비용 $c$ , 고정비용 $F$ )인 경우를 풀어보자.

단계 1: 총수입과 한계수입을 구한다.

$TR = (a - bQ)Q = aQ - bQ^2$

$MR = a - 2bQ$

단계 2: $MR = MC$ 조건을 적용한다.

$a - 2bQ = c \implies Q_m = \frac{a - c}{2b}$

단계 3: 독점 가격을 구한다.

$P_m = a - bQ_m = a - b \cdot \frac{a - c}{2b} = \frac{a + c}{2}$

단계 4: 독점 이윤을 구한다.

$\pi_m = (P_m - c)Q_m = \frac{(a - c)^2}{4b} - F$

참고독점 산출량의 의미

독점 산출량 $Q_m = \frac{a-c}{2b}$ 은 경쟁 산출량 $Q_c = \frac{a-c}{b}$ 의 정확히 절반이다. 독점 가격 $P_m = \frac{a+c}{2}$ 은 수요곡선의 최대 지불의사 $a$ 와 한계비용 $c$ 의 산술평균이다. 이 관계는 선형 수요 모형의 특수한 성질이다.

4. 후생 손실의 계산 (Welfare Loss Calculation)

유도선형 수요 모형의 사중손실 유도

사중손실은 독점 산출량과 경쟁 산출량 사이의 삼각형 면적이다.

$DWL = \frac{1}{2}(P_m - MC)(Q_c - Q_m)$

선형 모형의 값들을 대입하면 다음과 같다.

$DWL = \frac{1}{2}\left(\frac{a+c}{2} - c\right)\left(\frac{a-c}{b} - \frac{a-c}{2b}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{a-c}{2} \cdot \frac{a-c}{2b} = \frac{(a-c)^2}{8b}$

이를 독점이윤과 비교하면 다음과 같다.

$\frac{DWL}{\pi_m} = \frac{(a-c)^2 / 8b}{(a-c)^2 / 4b} = \frac{1}{2}$

즉, 선형 수요 모형에서 사중손실은 독점이윤(고정비용 무시)의 정확히 절반이다.

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5. 일반적 수요에서의 확장

선형 모형은 해석적으로 깔끔하지만, 일반적인 역수요함수 $P(Q)$ 에서는 닫힌 형태의 해가 존재하지 않을 수 있다. 이 경우 이윤 극대화 조건

$P(Q) + Q \cdot P'(Q) = C'(Q)$

를 수치적으로 풀어야 한다. 그러나 질적인 결론 -- 독점기업이 경쟁 수준보다 적게 생산하고 높은 가격을 부과한다는 점 -- 은 일반적으로 유지된다.

참고쿠르노 독점과 과점으로의 확장

이 유도에서 도출한 독점 해는 쿠르노 모형(Cournot model)에서 기업 수가 $n = 1$ 인 특수 사례에 해당한다. 기업 수가 $n$ 으로 늘어나면 균형 산출량은 $Q = \frac{n(a-c)}{(n+1)b}$ 이며, $n \to \infty$ 일 때 완전경쟁 산출량 $Q_c = \frac{a-c}{b}$ 에 수렴한다. 이 확장은 제7장 과점 이론에서 상세히 다룬다.