개념완성

베르트랑 모형 (Bertrand Model)

1. 개요

베르트랑 모형(Bertrand model, 1883)은 과점 기업이 가격을 전략변수로 동시에 설정하는 경쟁을 분석한다. 쿠르노 모형과 동일하게 소수의 기업이 동질재를 생산하지만, 전략변수가 생산량이 아닌 가격이라는 점에서 근본적으로 다른 결과를 낳는다.

2. 모형의 설정

정의7.4베르트랑 복점 모형의 가정

기업 수: 2개 (기업 1, 기업 2)
동질재(homogeneous product)를 생산
시장 수요: $Q = D(P)$ , 역수요 $P = a - bQ$
동일한 한계비용 $c$ (일정), 용량 제약 없음
소비자는 항상 더 낮은 가격의 기업에서 전량 구매
가격이 동일하면 수요를 균등 분배

핵심 가정은 **완전한 가격 전환(perfect switching)**이다: 가격이 조금이라도 낮은 기업이 시장 전체를 차지한다.

3. 베르트랑 역설 (Bertrand Paradox)

각 기업의 수요는 다음과 같이 결정된다.

$q_i(p_i, p_j) = \begin{cases} D(p_i) & \text{if } p_i < p_j \\ \frac{1}{2}D(p_i) & \text{if } p_i = p_j \\ 0 & \text{if } p_i > p_j \end{cases}$

이 구조에서 유일한 내쉬 균형은 다음과 같다.

정의7.5베르트랑 내쉬 균형

$p_1^* = p_2^* = c$

두 기업 모두 한계비용과 동일한 가격을 설정하며, 이윤은 $\pi_1^* = \pi_2^* = 0$ 이다.

이것이 **베르트랑 역설(Bertrand paradox)**이다: 단 2개의 기업만으로도 완전경쟁과 동일한 결과( $P = MC$ , 초과이윤 = 0)가 달성된다. 쿠르노 복점에서 양(+)의 이윤이 발생하는 것과 극명한 대조를 이룬다.

참고균형의 직관

$p_i > c$ 인 어떤 가격 조합도 균형이 될 수 없다. 상대방보다 약간 낮은 가격을 설정하면 시장 전체를 차지할 수 있으므로, 가격 인하 유인이 $P = c$ 에 도달할 때까지 지속되기 때문이다. 이러한 논리를 **가격 인하 경쟁(undercutting)**이라 한다.

4. 역설의 해소: 용량 제약 (Edgeworth)

정의7.6에지워스 용량 제약 모형

각 기업이 생산 용량(capacity) $\bar{q}_i$ 의 제약을 받는 경우, 가격을 낮추어도 전체 수요를 충족할 수 없다. 이 경우:

순수전략 내쉬 균형이 존재하지 않을 수 있다 (에지워스 순환)
용량 선택을 1단계, 가격 경쟁을 2단계로 하는 2단계 게임에서는 쿠르노 균형과 동일한 결과가 도출된다 (Kreps & Scheinkman, 1983)

이 결과는 쿠르노 모형의 미시적 기초(microfoundation)를 제공한다: 기업이 먼저 생산 설비를 구축하고 이후 가격 경쟁을 벌이면, 결과적으로 쿠르노 균형이 실현된다.

5. 역설의 해소: 제품 차별화

동질재 가정을 완화하면 베르트랑 역설은 사라진다. 차별화된 제품의 수요함수를 다음과 같이 설정하자.

$q_i = a - bp_i + dp_j, \qquad 0 < d < b$

여기서 $d$ 는 대체성(substitutability)의 정도를 나타낸다. 기업 $i$ 의 이윤 극대화 FOC는:

$\frac{\partial \pi_i}{\partial p_i} = a - 2bp_i + dp_j + bc = 0$

정의7.7차별화 베르트랑 균형

대칭 균형에서 $p_1^* = p_2^* = p^*$ 이므로:

$p^* = \frac{a + bc}{2b - d}$

$d > 0$ 인 한 $p^* > c$ 이므로 양(+)의 이윤이 발생한다. 제품 차별화가 클수록(즉 $d$ 가 작을수록) 균형 가격은 높아진다.

6. 쿠르노 모형과의 비교

| 비교 항목 | 쿠르노 (생산량 경쟁) | 베르트랑 (가격 경쟁) | |---------|-------------------|-------------------| | 전략변수 | 생산량 $q_i$ | 가격 $p_i$ | | 동질재 균형 가격 | $c < P^* < P^m$ | $P^* = c$ | | 균형 이윤 | 양(+) | 0 | | 전략적 관계 | 전략적 대체재 | 전략적 보완재 | | 기업 수 효과 | 점진적 수렴 | 2개로 충분 |

예제전략적 보완재의 의미

차별화 베르트랑 모형에서 상대 기업이 가격을 올리면( $p_j \uparrow$ ), 나의 수요가 증가하므로 나도 가격을 올리는 것이 최적이다. 즉 가격은 **전략적 보완재(strategic complements)**이다. 이는 쿠르노에서 생산량이 전략적 대체재인 것과 대조된다.

참고어떤 모형이 적절한가?

전략변수의 선택은 산업의 특성에 따라 달라진다. 생산 용량을 먼저 결정하고 이후 가격이 조정되는 산업(철강, 시멘트 등)에는 쿠르노 모형이, 용량 조정이 용이하고 가격 설정이 핵심인 산업(소매업, 항공 등)에는 베르트랑 모형이 적합하다.