슈타켈버그 모형 (Stackelberg Model)

1. 개요

슈타켈버그 모형(Stackelberg model, 1934)은 과점 시장에서 **선도 기업(leader)**이 먼저 생산량을 결정하고, **추종 기업(follower)**이 이를 관찰한 후 자신의 생산량을 결정하는 **순차적 게임(sequential game)**이다.

쿠르노 모형과 동일한 시장 구조를 가정하지만, 의사결정의 **시간적 순서(timing)**가 존재한다는 점에서 결정적으로 다르다. 이 모형은 **선도자 우위(first-mover advantage)**의 존재를 보여주는 대표적 사례이다.

2. 모형의 설정

3. 역진귀납법 (Backward Induction)

순차 게임의 해법은 **역진귀납법(backward induction)**이다: 마지막 단계(추종자)의 최적 행동을 먼저 구하고, 이를 선도자가 예측하여 자신의 전략을 결정한다.

3.1 2단계: 추종자의 문제

기업 2는 $q_1$이 주어진 상태에서 이윤을 극대화한다.

$\max_{q_2} \; \pi_2 = [a - b(q_1 + q_2) - c] \, q_2$

FOC를 풀면 추종자의 최적반응함수는 쿠르노의 경우와 동일하다.

$q_2^*(q_1) = \frac{a - c}{2b} - \frac{q_1}{2}$

3.2 1단계: 선도자의 문제

기업 1은 추종자의 반응함수 $q_2^*(q_1)$을 자신의 이윤함수에 대입하여 최적 생산량을 결정한다.

$\pi_1 = \left[a - b\!\left(q_1 + \frac{a-c}{2b} - \frac{q_1}{2}\right) - c\right] q_1 = \frac{(a - c)q_1}{2} - \frac{bq_1^2}{2}$

FOC를 풀면:

$\frac{\partial \pi_1}{\partial q_1} = \frac{a - c}{2} - bq_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad q_1^* = \frac{a - c}{2b}$

4. 슈타켈버그 균형

선도자는 쿠르노 균형보다 더 많이 생산하고($q_1^L > q^{C}$), 추종자는 더 적게 생산한다($q_2^F < q^{C}$).

5. 선도자 우위 (First-Mover Advantage)

6. 쿠르노 균형과의 비교

| 비교 항목 | 쿠르노 | 슈타켈버그 (선도자) | 슈타켈버그 (추종자) | |---------|--------|------------------|------------------| | 생산량 | $\frac{a-c}{3b}$ | $\frac{a-c}{2b}$ | $\frac{a-c}{4b}$ | | 이윤 | $\frac{(a-c)^2}{9b}$ | $\frac{(a-c)^2}{8b}$ | $\frac{(a-c)^2}{16b}$ |

총생산량은 슈타켈버그($\frac{3(a-c)}{4b}$)가 쿠르노($\frac{2(a-c)}{3b}$)보다 크고, 따라서 균형 가격은 슈타켈버그에서 더 낮다. 소비자 입장에서는 슈타켈버그 경쟁이 더 유리하다.

7. 확장과 응용