이윤 극대화의 1계 조건(FOC):

$\frac{\partial \pi_i}{\partial q_i} = (a - c) - 2bq_i - bq_j = 0$

$q_i$에 대해 정리하면:

$q_i^*(q_j) = \frac{a - c - bq_j}{2b} = \frac{a - c}{2b} - \frac{q_j}{2}$

2계 조건(SOC) 확인: $\frac{\partial^2 \pi_i}{\partial q_i^2} = -2b < 0$ (이윤 극대 확인).

기업 1의 반응함수: $q_1 = \frac{a - c}{2b} - \frac{q_2}{2}$ ... (i)

기업 2의 반응함수: $q_2 = \frac{a - c}{2b} - \frac{q_1}{2}$ ... (ii)

(ii)를 (i)에 대입:

$q_1 = \frac{a - c}{2b} - \frac{1}{2}\left(\frac{a - c}{2b} - \frac{q_1}{2}\right) = \frac{a - c}{2b} - \frac{a - c}{4b} + \frac{q_1}{4}$

$q_1 - \frac{q_1}{4} = \frac{a - c}{4b}$

$\frac{3q_1}{4} = \frac{a - c}{4b}$

$\boxed{q_1^* = \frac{a - c}{3b}}$

대칭성에 의해 $q_2^* = \frac{a - c}{3b}$이다.

총생산량:

$Q^* = q_1^* + q_2^* = \frac{2(a - c)}{3b}$

균형 가격:

$P^* = a - bQ^* = a - b \cdot \frac{2(a - c)}{3b} = a - \frac{2(a - c)}{3} = \frac{3a - 2a + 2c}{3} = \frac{a + 2c}{3}$

각 기업의 이윤:

$\pi_i^* = (P^* - c) \cdot q_i^* = \left(\frac{a + 2c}{3} - c\right) \cdot \frac{a - c}{3b} = \frac{a - c}{3} \cdot \frac{a - c}{3b} = \frac{(a - c)^2}{9b}$

기업이 $n$개이고 모두 동일한 비용 $c$를 가질 때, 기업 $i$의 이윤함수는:

$\pi_i = \left[a - b\left(q_i + \sum_{j \neq i} q_j\right) - c\right] q_i$

FOC:

$\frac{\partial \pi_i}{\partial q_i} = a - c - 2bq_i - b\sum_{j \neq i} q_j = 0$

대칭 균형에서 $q_j = q^*$ ($\forall j$)이므로, $\sum_{j \neq i} q_j = (n-1)q^*$:

$a - c - 2bq^* - b(n-1)q^* = 0$

$a - c = b(n+1)q^*$

$\boxed{q^* = \frac{a - c}{(n+1)b}}$

따라서:

$Q^* = nq^* = \frac{n(a - c)}{(n+1)b}, \qquad P^* = \frac{a + nc}{n+1}, \qquad \pi_i^* = \frac{(a - c)^2}{(n+1)^2 b}$

$n$이 무한히 커질 때의 극한값:

$\lim_{n \to \infty} P^* = \lim_{n \to \infty} \frac{a + nc}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{a/n + c}{1 + 1/n} = c$

$\lim_{n \to \infty} Q^* = \lim_{n \to \infty} \frac{n(a-c)}{(n+1)b} = \frac{a - c}{b}$

$\lim_{n \to \infty} \pi_i^* = \lim_{n \to \infty} \frac{(a-c)^2}{(n+1)^2 b} = 0$

이는 완전경쟁 균형과 정확히 일치한다: $P = MC = c$, 총 공급량 $= \frac{a-c}{b}$, 초과이윤 $= 0$.