개념완성

왈라스 균형 (Walrasian Equilibrium)

1. 개요

일반균형 이론은 개별 시장의 부분균형 분석을 넘어, 모든 시장이 동시에 균형을 이루는 상태를 다룬다. 레옹 왈라스(Leon Walras)가 체계화한 이 접근법은 경제 전체를 하나의 상호의존적 체계로 파악한다. $n$ 개의 재화가 존재하는 경제에서, 각 시장의 수요와 공급은 다른 모든 시장의 가격에 의존하므로, 균형은 연립방정식 체계의 해로 결정된다.

2. 초과수요함수 (Excess Demand Function)

정의8.1초과수요함수

재화 $i$ 의 초과수요함수(excess demand function) $z_i(\mathbf{p})$ 는 가격 벡터 $\mathbf{p} = (p_1, \dots, p_n)$ 에서의 총수요와 총공급의 차이이다.

$z_i(\mathbf{p}) = x_i^D(\mathbf{p}) - x_i^S(\mathbf{p}), \quad i = 1, \dots, n$

초과수요함수 벡터 $\mathbf{z}(\mathbf{p}) = (z_1(\mathbf{p}), \dots, z_n(\mathbf{p}))$ 는 다음 성질을 갖는다.

영차 동차성: $\mathbf{z}(t\mathbf{p}) = \mathbf{z}(\mathbf{p})$ for all $t > 0$ (절대 가격이 아닌 상대 가격만이 중요하다)
연속성: $\mathbf{p} \gg 0$ 일 때 $\mathbf{z}$ 는 연속이다

영차 동차성에 의해, 재화 중 하나를 **뉘메레르(numeraire)**로 설정하여 $p_n = 1$ 로 고정할 수 있다. 이에 따라 미지수의 수가 $n-1$ 개로 줄어든다.

3. 왈라스 법칙 (Walras' Law)

법칙8.1왈라스 법칙

모든 소비자가 국소 비포화(local nonsatiation) 조건을 만족하면, 임의의 가격 벡터 $\mathbf{p}$ 에 대해 초과수요의 총가치는 항상 영(zero)이다.

$\sum_{i=1}^{n} p_i \, z_i(\mathbf{p}) = \mathbf{p} \cdot \mathbf{z}(\mathbf{p}) = 0$

이는 균형뿐 아니라 모든 가격 벡터에서 성립하는 항등식이다.

왈라스 법칙의 중요한 귀결은 다음과 같다: $n$ 개 시장 중 $n-1$ 개가 균형이면, 나머지 한 시장도 자동으로 균형이다. 따라서 독립적인 균형 조건은 $n-1$ 개이며, 이는 뉘메레르 설정 후의 미지수 수와 일치한다.

4. 왈라스 균형의 정의

정의8.2왈라스 균형 (Walrasian Equilibrium)

가격 벡터 $\mathbf{p}^* \gg 0$ 이 왈라스 균형(Walrasian equilibrium) 또는 **경쟁균형(competitive equilibrium)**이라 함은, 모든 시장에서 초과수요가 영(zero) 이하이며, 양의 가격을 갖는 재화에서는 초과수요가 정확히 영인 것을 뜻한다.

$z_i(\mathbf{p}^*) \leq 0, \quad \text{모든 } i = 1, \dots, n$

$p_i^* > 0 \implies z_i(\mathbf{p}^*) = 0$

직관적으로, 왈라스 균형에서는 어떤 재화도 초과수요나 초과공급이 없으며, 모든 경제주체가 주어진 가격에서 자신의 최적 선택을 달성한다.

5. 균형의 존재 (Existence)

정의8.3균형 존재 정리

다음 조건이 충족되면 왈라스 균형이 존재한다.

모든 소비자의 소비 집합이 볼록(convex), 폐(closed), 하방 유계(bounded below)이다.
선호가 연속적(continuous), 강단조(strictly monotone), 볼록(convex)이다.
각 소비자의 초기 부존(endowment)이 양(strictly positive)이다.

증명의 핵심 아이디어는 브라우어 고정점 정리(Brouwer's Fixed-Point Theorem) 또는 보다 일반적으로 **카쿠타니 고정점 정리(Kakutani's Fixed-Point Theorem)**를 적용하는 것이다. 가격을 단체(simplex) $\Delta = \{\mathbf{p} \geq 0 : \sum p_i = 1\}$ 위에서 고려하고, 초과수요에 기초한 가격 조정 사상(mapping)이 $\Delta$ 에서 자기 자신으로의 연속 함수가 됨을 보인다. 고정점이 곧 왈라스 균형 가격이 된다.

6. 균형의 유일성 (Uniqueness)

왈라스 균형의 존재가 보장되더라도, **유일성(uniqueness)**은 추가적인 조건을 요구한다. 일반적으로 복수의 균형이 존재할 수 있다.

정의8.4총대체재 조건 (Gross Substitutes)

재화 $j$ 의 가격이 상승할 때, 다른 모든 재화 $i \neq j$ 의 초과수요가 증가하면 총대체재 조건이 성립한다.

$\frac{\partial z_i(\mathbf{p})}{\partial p_j} > 0, \quad \forall\, i \neq j$

총대체재 조건이 성립하면 왈라스 균형은 (뉘메레르 설정 하에서) 유일하다.

7. 균형의 안정성

참고타토느망 과정 (Tatonnement Process)

왈라스는 균형 도달 메커니즘으로 **타토느망(tatonnement)**을 제안했다. 가상의 경매인(auctioneer)이 가격을 공시하고, 초과수요가 양이면 가격을 올리고, 음이면 가격을 내린다. 수학적으로 이는 다음의 미분방정식 체계로 표현된다.

$\dot{p}_i = \lambda \, z_i(\mathbf{p}), \quad \lambda > 0$

총대체재 조건 하에서 이 과정은 유일한 균형에 수렴함이 알려져 있다. 그러나 일반적인 경우 타토느망의 안정성은 보장되지 않으며, 이는 Scarf(1960)가 반례를 통해 보인 바 있다.

예제2재화 순수교환경제의 왈라스 균형

소비자 A와 B가 재화 1, 2를 교환하는 경제를 생각하자. 재화 2를 뉘메레르로 두어 $p_2 = 1$ 로 고정하고 $p = p_1$ 이라 하면, 왈라스 법칙에 의해 재화 1의 시장만 고려하면 충분하다. 양 소비자의 최적 수요에서 도출된 초과수요가

$z_1(p) = \frac{10}{p} - 5$

라면, $z_1(p^*) = 0$ 을 풀어 $p^* = 2$ 를 얻는다. 이 가격에서 재화 1의 총수요와 총공급이 일치하며, 왈라스 법칙에 의해 재화 2의 시장도 자동으로 균형이다.