개념완성

에지워스 상자 (Edgeworth Box)

1. 개요

**에지워스 상자(Edgeworth box)**는 2명의 소비자와 2개의 재화로 구성된 순수교환경제(pure exchange economy)를 하나의 직사각형 그림으로 나타내는 도구이다. 이를 통해 초기 부존, 무차별곡선, 파레토 효율 배분, 경쟁균형을 시각적으로 분석할 수 있다.

2. 상자의 구성

정의8.5에지워스 상자의 구성

소비자 A와 B가 재화 1과 재화 2를 소비한다. 경제 전체의 총부존량이 $\omega_1 = \omega_1^A + \omega_1^B$ , $\omega_2 = \omega_2^A + \omega_2^B$ 일 때, 에지워스 상자는 가로 $\omega_1$ , 세로 $\omega_2$ 인 직사각형이다.

왼쪽 아래 꼭짓점이 소비자 A의 원점이다.
오른쪽 위 꼭짓점이 소비자 B의 원점이다.
상자 안의 임의의 점 $(x_1^A, x_2^A)$ 는 **실현가능 배분(feasible allocation)**을 나타내며, 소비자 B의 소비량은 $x_i^B = \omega_i - x_i^A$ 로 자동 결정된다.

총부존 벡터 $(\omega_1, \omega_2)$ 가 상자의 크기를 결정하며, 초기 부존점(endowment point) $\omega = (\omega_1^A, \omega_2^A)$ 는 교환 이전의 배분을 나타낸다.

3. 무차별곡선과 교환

에지워스 상자 안에 두 소비자의 무차별곡선을 동시에 그릴 수 있다. 소비자 A의 무차별곡선은 통상적 방향이고, 소비자 B의 무차별곡선은 오른쪽 위 원점을 기준으로 **반전(inverted)**된 형태이다.

초기 부존점을 지나는 두 소비자의 무차별곡선이 이루는 렌즈(lens) 모양 영역은 양 소비자 모두에게 이익이 되는 교환이 가능한 배분의 집합이다. 이 영역 안의 이동을 **파레토 개선(Pareto improvement)**이라 한다.

참고자발적 교환의 조건

합리적 소비자는 자신의 효용이 감소하는 교환에 동의하지 않는다. 따라서 교환은 반드시 렌즈 영역 안에서, 즉 양 소비자의 효용이 모두 개선되는(또는 적어도 동일한) 방향으로 이루어진다. 렌즈 영역이 소진되면 더 이상의 파레토 개선은 불가능하다.

4. 계약곡선 (Contract Curve)

정의8.6계약곡선

**계약곡선(contract curve)**은 에지워스 상자 내에서 두 소비자의 무차별곡선이 접하는 점들의 궤적이다. 이 점들에서는 파레토 개선이 불가능하므로, 계약곡선 위의 모든 배분은 **파레토 효율적(Pareto efficient)**이다.

수학적으로, 계약곡선 위의 배분 $(x_1^A, x_2^A, x_1^B, x_2^B)$ 에서는 두 소비자의 한계대체율이 같다.

$MRS^A_{12} = MRS^B_{12}$

계약곡선은 일반적으로 상자의 한쪽 꼭짓점에서 반대편 꼭짓점으로 이어지며, 그 모양은 두 소비자의 선호에 의해 결정된다.

5. 경제의 핵 (Core of the Economy)

정의8.7핵 (Core)

경제의 **핵(core)**은 어떤 연합(coalition)도 자신들의 초기 부존만으로 더 나은 결과를 달성할 수 없는 배분의 집합이다. 2인 경제에서 핵은 계약곡선 중 초기 부존점을 지나는 양 소비자의 무차별곡선 사이에 놓인 부분이다.

$\text{Core} = \{ \mathbf{x} \in \text{계약곡선} : u^A(\mathbf{x}^A) \geq u^A(\boldsymbol{\omega}^A) \text{ 이고 } u^B(\mathbf{x}^B) \geq u^B(\boldsymbol{\omega}^B) \}$

핵에 속한 배분은 파레토 효율적이면서 동시에 양 소비자 모두가 초기 부존보다 나쁘지 않은 배분이다. 왈라스 균형 배분은 항상 핵에 속한다.

6. 경쟁균형과 에지워스 상자

정의8.8에지워스 상자에서의 경쟁균형

가격 벡터 $\mathbf{p}^* = (p_1^*, p_2^*)$ 에서의 경쟁균형은 에지워스 상자 위에서 다음 조건을 만족하는 배분이다.

초기 부존점을 지나는 예산선(budget line): $p_1^* x_1 + p_2^* x_2 = p_1^* \omega_1^A + p_2^* \omega_2^A$
각 소비자가 예산선 위에서 효용을 극대화한다.
두 소비자의 최적 선택이 상자 안의 같은 점에 해당한다 (시장 청산).

기하학적으로, 경쟁균형에서는 예산선이 초기 부존점을 지나며, 그 예산선 위에서 두 소비자의 무차별곡선이 서로 접한다. 따라서 경쟁균형 배분은 반드시 계약곡선 위에 놓인다.

예제콥-더글러스 선호에서의 에지워스 상자

소비자 A: $u^A = (x_1^A)^{1/2}(x_2^A)^{1/2}$ , 초기 부존 $(3, 1)$ . 소비자 B: $u^B = (x_1^B)^{1/3}(x_2^B)^{2/3}$ , 초기 부존 $(1, 3)$ .

총부존은 $(\omega_1, \omega_2) = (4, 4)$ 이므로 상자는 $4 \times 4$ 이다. 재화 2를 뉘메레르로 두면 ( $p_2 = 1$ ), 소비자 A의 마셜 수요는

$x_1^A = \frac{3p + 1}{2p}, \quad x_2^A = \frac{3p + 1}{2}$

소비자 B의 마셜 수요는

$x_1^B = \frac{p + 3}{3p}, \quad x_2^B = \frac{2(p + 3)}{3}$

시장 청산 조건 $x_1^A + x_1^B = 4$ 를 풀면 균형 가격 $p^*$ 와 균형 배분을 구할 수 있다.

참고핵의 축소 정리 (Core Convergence)

에지워스(1881)와 드브루-스카프(Debreu-Scarf, 1963)의 결과에 의하면, 경제의 소비자 수가 무한히 커지면 핵은 왈라스 균형 배분의 집합으로 **수축(shrink)**한다. 이는 충분히 많은 참여자가 있는 경쟁 경제에서 경쟁균형이 갖는 정당성의 이론적 근거가 된다.