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경제학 강의 노트

법칙완성

후생경제학 제1정리 (First Welfare Theorem)

1. 개요

후생경제학 제1정리는 **"보이지 않는 손(invisible hand)"**에 대한 엄밀한 수학적 표현이다. 애덤 스미스가 직관적으로 제시한 "개인의 이기적 추구가 사회적 효율을 달성한다"는 주장을, 일반균형 이론의 틀 안에서 정확한 조건과 함께 증명한 것이다.

2. 정리의 진술

법칙8.2후생경제학 제1정리 (First Fundamental Theorem of Welfare Economics)

모든 소비자의 선호가 **국소 비포화(locally nonsatiated)**이면, 모든 왈라스 균형(경쟁균형) 배분은 **파레토 효율적(Pareto efficient)**이다.

즉, (p∗,x∗)(\mathbf{p}^*, \mathbf{x}^*)가 왈라스 균형이면, 실현가능 배분 중에서 x∗\mathbf{x}^*에 대한 파레토 개선은 존재하지 않는다.

이 정리의 놀라운 점은 필요한 가정이 매우 약하다는 것이다. 선호의 볼록성, 연속성, 효용함수의 존재 등을 요구하지 않으며, 오직 국소 비포화만으로 충분하다.

3. 국소 비포화 조건

정의8.13국소 비포화 (Local Nonsatiation)

선호관계 ≿\succsim이 국소 비포화를 만족한다 함은, 임의의 소비 묶음 x\mathbf{x}와 임의의 ε>0\varepsilon > 0에 대해, ∥x′−x∥<ε\|\mathbf{x}' - \mathbf{x}\| < \varepsilon이고 x′≻x\mathbf{x}' \succ \mathbf{x}인 묶음 x′\mathbf{x}'이 존재하는 것이다.

국소 비포화는 "어떤 소비 묶음 근처에서든 항상 더 나은 묶음을 찾을 수 있다"는 것으로, 단조성보다 약한 조건이다. 이 조건은 왈라스 법칙(소비자가 예산을 모두 소진함)의 성립을 보장하며, 제1정리 증명의 핵심이다.

4. 증명의 개요

유도후생경제학 제1정리의 증명

귀류법을 사용한다. 왈라스 균형 배분 x∗\mathbf{x}^*가 파레토 효율적이지 않다고 가정하자.

단계 1: 파레토 비효율적이므로, 실현가능 배분 x′\mathbf{x}'이 존재하여

  • 모든 ii에 대해 x′i≿x∗i\mathbf{x}'^i \succsim \mathbf{x}^{*i}
  • 적어도 한 개인 jj에 대해 x′j≻x∗j\mathbf{x}'^j \succ \mathbf{x}^{*j}

단계 2: 개인 jj에 대해 x′j≻x∗j\mathbf{x}'^j \succ \mathbf{x}^{*j}이므로, x∗j\mathbf{x}^{*j}가 예산 집합에서의 최적 선택이었다는 사실로부터

p∗⋅x′j>p∗⋅ωj\mathbf{p}^* \cdot \mathbf{x}'^j > \mathbf{p}^* \cdot \boldsymbol{\omega}^j

(만약 x′j\mathbf{x}'^j가 예산 내에 있었다면 이미 선택되었을 것이므로 모순.)

단계 3: 다른 개인 i≠ji \neq j에 대해 x′i≿x∗i\mathbf{x}'^i \succsim \mathbf{x}^{*i}이다. 국소 비포화에 의해

p∗⋅x′i≥p∗⋅ωi\mathbf{p}^* \cdot \mathbf{x}'^i \geq \mathbf{p}^* \cdot \boldsymbol{\omega}^i

(만약 p∗⋅x′i<p∗⋅ωi\mathbf{p}^* \cdot \mathbf{x}'^i < \mathbf{p}^* \cdot \boldsymbol{\omega}^i이면, 비포화에 의해 x′i\mathbf{x}'^i 근처에서 엄격히 선호되면서 예산 내인 묶음이 존재하여 모순.)

단계 4: 모든 개인에 대해 합산하면

∑ip∗⋅x′i>∑ip∗⋅ωi\sum_i \mathbf{p}^* \cdot \mathbf{x}'^i > \sum_i \mathbf{p}^* \cdot \boldsymbol{\omega}^i

이는 x′\mathbf{x}'이 실현가능 배분이라는 가정(∑ix′i≤∑iωi\sum_i \mathbf{x}'^i \leq \sum_i \boldsymbol{\omega}^i)에 모순된다. ■\blacksquare

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5. "보이지 않는 손"의 해석

참고시장의 효율성에 대한 함의

제1정리는 완전경쟁시장에서 가격 메커니즘이 자원을 효율적으로 배분한다는 것을 보여준다. 어떤 중앙 계획자(central planner)도 시장이 달성한 결과보다 모든 사람을 더 좋게 만들 수 없다. 이는 시장경제를 지지하는 강력한 이론적 근거이다.

6. 정리의 한계와 가정의 위반

제1정리가 성립하지 않는 주요 경우는 다음과 같다.

6.1 시장 실패 (Market Failures)

  • 외부성(Externalities): 한 경제주체의 행위가 시장을 거치지 않고 다른 주체의 후생에 영향을 미치면, 경쟁균형은 파레토 비효율적일 수 있다. 예컨대 공해를 유발하는 생산은 사회적 비용을 과소 반영한다.
  • 공공재(Public goods): 비배제성과 비경합성을 갖는 재화는 시장에서 과소 공급되는 경향이 있다.
  • 불완전 정보(Asymmetric information): 역선택과 도덕적 해이는 시장의 효율적 작동을 방해한다.

6.2 시장 지배력 (Market Power)

완전경쟁 가정이 위반되어 기업이나 소비자가 가격에 영향을 미칠 수 있으면, 균형은 파레토 효율적이지 않다. 독점이 전형적인 사례이다.

6.3 불완전한 시장 (Incomplete Markets)

모든 재화와 상태(state)에 대한 시장이 존재하지 않으면, 경쟁균형의 파레토 효율성이 보장되지 않는다. 예컨대 보험 시장이 불완전한 경우 위험의 배분이 비효율적일 수 있다.

예제외부성이 있는 경우의 비효율성

기업이 재화를 생산할 때 오염을 배출하고, 이 오염이 주민의 효용을 감소시킨다고 하자. 기업의 사적 비용 MCprivateMC_{\text{private}}과 사회적 비용 MCsocial=MCprivate+MDMC_{\text{social}} = MC_{\text{private}} + MD(한계피해)가 다르므로,

MCsocial=MCprivate+MD>MCprivateMC_{\text{social}} = MC_{\text{private}} + MD > MC_{\text{private}}

경쟁균형에서 기업은 P=MCprivateP = MC_{\text{private}}에서 생산하지만, 사회적 최적은 P=MCsocialP = MC_{\text{social}}이다. 따라서 경쟁균형은 과다생산을 초래하며 파레토 효율적이지 않다.